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【中3数学】平方根? 有理数? 無理数?-平方根(ルート) の解き方・教え方

中3数学で初めて習う平方根と有理数と無理数の違いに対する質問 中3 数学

中3で初めて出てくる平方根。
$(\sqrt{a})^2=a$という、2乗したらルートの中の文字(または数字)になる数です。
ルートの前の符号が プラスまたはマイナス がついていても2乗すれば同じ数になります。
例)$(+\sqrt{3})^2=3,  (-\sqrt{3})^2=3$
また、ルートの中に、マイナスがつかないことに注意しましょう。
(ちなみに高校では、ルートの中にマイナスがつく数を習います。)

同時に有理数と無理数も習います。
ルートでしか表せない数は、無理数と言います。
また、文字で数を表す$”\pi”$も無理数です。
有理数とは、ルートを使わずに、数字のみで分数にして表せる数になります。

$(\sqrt{a})^2=a$ と無理数と有理数

ルートが出てくると、ルートが ”どういう数の仲間なのか” ということを 必ず習います。
そこで初めて耳にするのが、”有理数” ”無理数” と言う言葉。

基本的にルートが出てくる前までに数学で使っていたのが有理数。
有理数は、全て、ルートや記号を使わずに分数で表せる数です。

例)0、1、2、3、$\frac{1}{3}、\frac{2}{9}$、-3、-2、-$\frac{2}{3}$ 等

無理数は、ルートでしか表せなかったり、記号を用いないと表せない数です。

例)$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\pi$ 等

覚えてしまえば、難しいことではなくなると思います。

【基本】平方根の基礎

2乗したら平方根が外れる、と覚えているだけで、学校でも初めの方の授業は余裕でついて行けるでしょう。
有理数と無理数は、感覚でも わかるかもしれません。
気をつけなければならないのは、分数を小数に表すと 小数点以下がずーっと続く数字。
これは、学校での教え方がずるいだけ。
分数で表せるのは、有理数!
と学んでいれば、テストで失敗しないで済むと思います。

では、基本のアニメスライドをどうぞ。

平方根の前につく符号はきちんと書けましたか?

平方根の数と整数の比較はできましたか?

平方根の計算を、整数と混ぜてきれいに整理してしまったりしていませんか?

解きポイント

・$(±\sqrt{a})^2=a $ ※符号はプラスもマイナスもあることに注意。
・平方根の数の大小は、平方根の中の大きさで比較する。
・平方根のかけ算は、ルートの外に出せる数を出してから計算すると早い。
・平方根のわり算は、ルートの中に入れてから計算すると早いことが多い。

符号の付け忘れは、よくやってしまうケアレスミスです。
テスト本番での プラスマイナスの符号の付け忘れは 注意しましょう。

平方根の大小ですが、分数と小数を比較する問題がテストに出る場合もあります。
この単元の問題は、学校の数学担当の先生の腕の見せ所!?かもしれません。
判断するのが難しい数字が入っていたら、数学の先生の腕はかなり高い・・・かもしれません。

平方根のかけ算・わり算は、本当にたくさんの問題をこなして欲しいです。
たくさん計算問題をこなすことで、2乗の数は頭にすぐに浮かぶようになります。
2乗の数がすぐにわかるようになると、平方根の外に出したり、中に入れたりした時の数がわかり、平方根のかけ算やわり算でどんどん計算速度が速くなります。

ここで紹介した問題だけでは計算速度は上がりませんので、必ず、計算問題集等をこなすようにしてください。

教えポイント

・符号を付け忘れている時は、「ふ・ふ・ふ」と言ってみて下さい。
 ”符号”の頭文字の”ふ”です。笑っているのではないことも伝えてくださいね。
・平方根の大小は、小数か分数の判断しやすい方を選んでもらってください。
 おすすめは小数です。
・平方根のかけ算・わり算で覚えて欲しい2乗の数は、1~15の2乗とそれらを小数にした場合の数です。
 少なくとも、1~12はすぐに言えるようにしてほしいです。

【本題】平方根の問題

大学には行かない!と決めている人は平方根の問題は、計算問題だけできればいいと思います。
しかし、大学に行けたら行こう!と心の片隅にでも考えている人は、是非、計算問題だけでなく、平方根の文章問題をやっておくべきだと思います。

では、平方根の本題で、計算問題と文章問題です。

①は計算問題。
解答で、平方根の2乗の計算は省きました。
理由は、簡単であることもそうなのですが、テスト中で書く時間がもったいないからが一番の理由です。
しかし、2乗を書かないと何か落ち着かない人や、書いておかないと検算の時に困る人は、書いておいた方がよいでしょう。

②は、平方根の性質を用いた問題。
このような問題は大学入試でも見かけます。
しかし、基本は中3で習っているので、大学を目指す人は必ず理解しておいてくださいね。

③は、公式を利用するとあっという間に解けてしまう問題。
これも大学入試でよく見かける問題。
こういう形は、『公式を利用しなさい。』と言っていることに気づけるようにしましょう。

解きポイント

・計算途中で、ルートを文字式と同様に扱うことに慣れること。
 ルートを$x$と置き換えて計算してみるとわかりやすいかもです。
・素因数分解
・2乗の形を作ることでルートの外に出すことができ、ルートの外に出せば整数になること。
・2乗の公式を利用すること。

平方根を使った問題をできるだけたくさんこなして、平方根に慣れてしまいましょう。
慣れてしまえば、平方根がついていなかった時の計算と 同様な速さで計算できるようになります。
ケアレスミスが減らない人は、どこで間違えているのか、一問一問、間違えているところを自分で探し、計算している途中でも、ミスに気づけるようになりましょう。
ミスが気づけるようになれば、少しずつ、正解率が上がってきます。

教えポイント

・たくさんの計算問題を出題してください。
 2乗の形や、ルートの外に出す、中に入れるを深く考えることなく出るまで出題するとよいでしょう。
・「文章問題は、初めての出題でいきなり正解できることは少ない。」と説明しましょう。
・「問題の形に慣れることが重要。」と強調しましょう。

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