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【中3数学】因数分解はどう解くの?-展開・因数分解の 解き方・教え方

中3数学で習い、受験で必ず問われる展開と因数分解について 中3 数学

$(x+1)(x+5)=x^2+6x+5$ とやるのが展開。
$x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$ とやるのが因数分解。

展開の反対の作業が因数分解ですが、因数分解ってどう解いていますか?

上の例でいくと、展開で出た$6x$の6は、1+5=6
$x$がかかっていない6は、1×5=5 と言う計算をしています。

因数分解はその逆の操作だから・・・(これは因数分解のところで)

公式を使いこなせば 確実に点に結びつく 展開

展開はもれることなく、計算すればいい問題です。

また、公式を迷わずに使いこなせるようになりましょう。
そのためにはいろいろな展開の練習問題をこなす必要があります。
ここではミスしてはいけない 最低限の問題を取り扱います。

【基本】式の展開の公式

公式を覚えて、練習問題をたくさんこなし、展開の名人になりましょう。
では、【基本】のスライドからどうぞ。

公式を使った問題でしたが、いかがだったでしょうか。
公式はすらすら言うことができていますか?
特に忘れてはならない公式は・・・

解きポイント

$・(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$・(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$・(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

公式をしっかり覚えて、ひたすら解きましょう。
2乗の公式を使った問題が、すぐ解けるようになったら、
$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$ もそれとなく教えておきましょう。

教え方point

・$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$ も教えておきましょう。※因数分解で役立ちます!
・かけ算の九九で計算ミスをする場合、苦手な段を繰り返しましょう。
・中1で習った 正の数・負の数での計算ミスがないか、よく確認しましょう。

・数学が苦手な子供には、計算で点数を稼ぐ必要があることを伝えましょう。

【本題】展開は やり方がわかれば 正確に解くだけ

展開は、小学生でやった計算と展開公式が正確にできれば、定期テストでも、高校入試でも、点数を稼げる問題です。
早く、正確に問題を解けるようにしましょう。

入試問題よりは、やや易し目な問題を出題しました。
しかし、計算に慣れていないと『あれ?どうやるんだっけ。』なんて思ったりもします。

本題の解答は、省略しても良いところを割愛したところもあります。
もしも途中計算がわからなかった場合は、基本のスライドを見直してみてください。
⑤の問題は、$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$ につながる形として出題しました。

解きポイント

・係数がついていても 公式は同じように使えること。
・かっこ内の項数が増えても、展開公式は同じ。※かけ忘れの無いように
・代入の問題は、文字の値を先に代入せずに 文字式の計算を先にすること。

展開の本題は、公式の使い方の再確認問題を揃えました。

初めは時間をかけてでも、正確に解いて、全問正解するまで繰り返し解いてほしいです。
また、ケアレスミスした問題に対しては解き直しはもちろん、毎回時間を計って、早く、正確にできるようになっていく過程を子供に伝え、やる気を促しましょう。

教えポイント

・時間を計測し、1問当たりのスピードを伝えましょう。
 (テスト中の見直し時間を決める参考になります。)
・すべての項が算出できていない時は、すべての項同士を線で結んで、計算漏れがないようにしていきましょう。
・計算ミスの種類をまとめ、子供に伝えましょう。
 (苦手な計算の種類を再認識し、今後点数をとるべき問題を厳選するため)

累乗の形に 慣れが必要な 素因数分解

素因数分解は素数の割り算の積み重ねです。
例えば、$32=2^5$ ですが、$2^5$ という形に慣れが必要だと思います。
慣れておかないと、5乗の意味さえ”???”になってしまう生徒をかなり見てきました。

【基本】素因数分解のやり方に慣れよう

素因数分解は、展開や因数分解に比べると、学校で問題をこなす量が少なめな気がしています。
慣れる前に、因数分解に進んでしまうため、ちぐはぐになりがちだと感じています。
しかし、大学入試の問題で、素因数分解に関連した問題をよく見ます。
今、しっかりやって、忘れないようにしてほしいと思います。

肝心なのは、素数です。

『素数って何だっけ?』なんて質問してくる子供が意外と多いと記憶しています。
今、覚えてしまいましょう。

解きポイント

・素数とは「1とその数以外に約数をもたない数」
・素因数分解は、素数になるまで、素数で割っていく。

素因数分解の時に、約数がある”4”や”6”で割ってしまう子供をよく見ました。
そういう時に、「素数で割るんだよ。」と言ってもキョトンとされることが多いです。
学校で、もう少し言葉の意味も繰り返しやってほしいと感じることがあります。
ここでは素数が何なのか しっかり答えられるまで、繰り返し聞いてみるのもいいでしょう。

教えポイント

・素数で素因数分解ができているか、内容をしっかり確認しましょう。
・素数で 偶数なのは2しかない ことを伝えましょう。
・”3の倍数”や”5の倍数”の確認方法を再確認しましょう。

  3の倍数:すべてのケタの数の和が3で割り切れるのは3の倍数
  5の倍数:一の位の数が”0”か”5”の場合は5の倍数

【本題】素因数分解を使った問題

素因数分解ができるようになったら、素因数分解を使った文章問題をやってみましょう。
2乗ずつ分けて考えるのがミソになります。

スライドのような種類の問題では、2乗ずつで分けて、答えを考えていきます。

1乗は、そのまま答えに結びつきます。
2乗は、答えに関係しなくなります。
3乗は、2乗×1乗になり、1乗の方が答えに結びつきます。
4乗は、2乗×2乗なので、答えに関係しなくなります。

解きポイント

・素因数分解して、2乗でまとめる。

参考までに、
5乗は、4乗×1乗で、答えに結びつきます。
6乗は、2乗×2乗×2乗なので、答えに関係なくなります。

まとめると、
奇数乗は答えに結びつき、
偶数乗は、答えに関係しなくなります。

但し、”元の数を答えなさい”とか、”2乗になる数を答えなさい”のような問題は、偶数乗が答えに結びつき、奇数乗が答えに関係なくなります。

素因数分解を用いた問題は、累乗の考え方も含んだ問題になるので、忘れていた場合は、きちんと復習しておきましょう。

教えポイント

・1乗、3乗、5乗、7乗…は素因数分解の文章題で答えに結びつくことが多い。
・2乗、4乗、6乗、8乗…は、素因数分解の文章題では、元の数を求める場合に
 計算する必要がある。
・累乗は同じ数値を何回かけたかの回数であること を再確認しておきましょう。

 ($2×2×2×2×2=2^5$ 2を5回かけたので、2の5乗)
※言葉では難しくなりがちなので、スライドでもう一度確認しておきましょう。

積と和で決まる因数分解

何も教わらないと、初めは因数分解が難しく感じると思います。
しかし、教わった後に練習問題を解くと、意外とあっさり答えが出るものです。
(素因数分解は因数分解の積を考える上で必要になるため、先に学習しました。)
因数分解のいろいろな問題に触れて、テストでは確実に点数を稼いでもらいたいと思います。

【基本】因数分解は展開の逆 ということを知る

展開は練習問題を多くこなすことで、確実に点数に結びつくことを知ったと思います。
実は、因数分解も、確実に点数に結び付けられます。
なぜなら、因数分解した答えを展開して、元に戻れば間違いないためです。

また、因数分解は、積と和からひらめいて、解くことができます。

積と和が肝心なことを踏まえて、アニメスライドを見てみましょう。

スライドでは 解き方の詳細まで書くと読みづらくなるため、割愛した部分があります。
それを以下に記します。

⑤の $x^2-2x-15$ のような因数分解は、$x$ がついていない数字 ”-15” の積と $-2x$ の係数 ”-2” が和になる数を考えます。

かけて”-15″になるのは、(正の数)×(負の数)になります。
15の素因数分解をやると 3×5 なので、どちらかにマイナスをつけて、和がー2になる組合せを考えます。
大きい数にマイナスをつけると和がマイナスになるので、-5と3 と見当がつきます。

実際に計算すると、(-5)×3=-15、(-5)+3=-2 となり、因数分解の答えが
$(x-5)(x+3)$ になることがわかります。

展開して確認すると、$x^2+2x-15$ になるので、因数分解した答えが正しいと判断できます。

解きポイント

・積と和から因数分解できるか考える。
・2乗になる因数分解は、展開の公式を逆に使う。

【本題】経験が必要な因数分解

経験が必要な因数分解の中で、学校のテストでよく出題されるものを中心に選びました。
初めて見る形の因数分解もあるかもしれませんが、経験しておけば出題された時に焦らずに対応できると思います。
では、【本題】のスライドを見てみましょう。

スライドの右側の考え方にヒントを出しました。
これだけで正解できる人は、なかなかセンスがあると思います。

ふつうは③⑤⑥のような問題は、経験して身に付けて行く問題になります。
特に $(\frac{1}{2})^2$ の使い方は、因数分解の中でも初めのうちは難問だと思います。

解き方point

・共通因数を見つけること。
・$x^2$の係数がある数の2乗になっているか考えること。
・文字がかけられていない分数が、ある分数の2乗になっているか考えること。

・$2×\frac{1}{2}$ が1になることを覚えておくこと。

共通因数を見つけるのは、たくさん問題を解いた方が見つけやすくなります。
2乗も数を知っているだけで、『もしかして2乗を使うかも!』と感じ取ることができます。
2乗の数を知っていれば、分数になった時でも応用が利きます。
特に2をかけて整数になる数値は、慣れが必要だと思います。

教え方point

・因数分解したものを展開して、同じになるか確かめてもらいましょう。

・$11^2=121, 12^2=144, 13^2=169, 14^2=196, 15^2=225$ を計算してもらい、2乗の公式で使えるかもしれないと伝えておきましょう。

・覚える余地がある場合は、$16^2=252, 17^2=289, 18^2=324, 19^2=361も 覚えておいて損はない、くらいに伝えておきましょう。

・分数が苦手と感じている子供には、因数分解で分数が出てきた時に、2乗の形を思い出すように伝えましょう。

・あきらめそうに見えた時に、計算は誰でも練習すれば点数が取れることを伝え、練習をたくさんするように伝えましょう。
 (プロのサッカー選手もパス練習を毎日必ずやっていることも伝えましょう)

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